西师大版五年级数学下册知识要点总结

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西师大版五年级数学下册

(义务教育教科书)

二 分数

综合与实践 设计长方体的包装方案

你知道吗 阿基米德巧辨皇冠真假

探索规律

综合与实践 发豆芽

七 总复习

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知识点总结

第一章、因数和倍数

1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。

   整数与自然数的关系：整数包括自然数。

2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。

例：12是6的倍数，6是12的因数。

（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。

（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

       一个数的因数的求法：成对地按顺序找。

（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

       一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。

（4）2、3、5的倍数特征

1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。

2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

3）个位上是0或5的数，是5的倍数。

4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。

同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。

5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。

3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。

如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等

4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。

   奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。

偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。

最小的奇数是1，最小的偶数是0.

关系： 奇数+偶数=奇数      奇数+ 奇数=偶数      偶数+偶数=偶数。

奇数-偶数=奇数       奇数-奇数=偶数       偶数-偶数=偶数

5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.

   质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。

合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。

1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。

0：

   最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。

   每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。

   20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

   100以内找质数、合数的技巧：

看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。

关系： 奇数×奇数=奇数     质数×质数=合数

6、最大、最小

A的最小因数是：1；          最小的奇数是：1；

A的最大因数是：A；         最小的偶数是：0；

A的最小倍数是：A；         最小的质数是：2；

最小的自然数是：0；         最小的合数是：4；

7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。

   用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。

比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）

8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。

两个质数的互质数：5和7

两个合数的互质数：8和9

一质一合的互质数：7和8

两数互质的特殊情况：

⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；

⑷2和所有奇数互质；  ⑸质数与比它小的合数互质；

9、公因数、最大公因数

    几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

用短除法求两个数或三个数的最大公因数  （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）

几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。

如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它的最小公倍数。

如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。

10、公倍数、最小公倍数

    几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。

用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）

如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。

如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。

11、求最大公因数和最小公倍数方法

用12和16来举例

1、  求法一：（列举求同法）

最大公因数的求法：

12的因数有：1、12、2、6、3、4

16的因数有：1、16、2、8、4

最大公因数是4

最小公倍数的求法：

12的倍数有：12、24、36、48、…

16的倍数有：16、32、48、…

最小公倍数是48

2、求法二：（分解质因数法）

12=2×2×3

16=2×2×2×2

最大公因数是：2×2=4      （相同乘）

最小公倍数是：2×2  × 3×2×2=48 （相同乘×不同乘）

二  分数的意义和性质

1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。

2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）

3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。

4、分数与除法

A÷B=（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0）   例如： 4÷5=

5、真分数和假分数、带分数

   1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。

   2、假分数：分子大于或等于分母的分数叫假分数。假分数≧1

   3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1。

6、真分数＜1≤假分数        真分数＜1＜带分数

7、假分数与整数、带分数的互化

（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，如：

（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子如：

（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：

（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：

8、分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

9、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。

10、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

11、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。如：

12、分数和小数的互化

（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100…… 

（2）分数化为小数：

     方法一：把分数化为分母是10、100、1000……

方法二：用分子÷分母

（3）带分数化为小数：

先把整数后的分数化为小数，再加上整数   

13、比分数的大小：    分母相同，分子大，分数就大；

分子相同，分母小的，分数大。

分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。

14、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。

15、两个数互质的特殊判断方法：

① 1和任何大于1的自然数互质。

② 2和任何奇数都是互质数。

③ 相邻的两个自然数是互质数。

④ 相邻的两个奇数互质。

⑤ 不相同的两个质数互质。

⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。

16、求最大公因数的方法：

   ① 倍数关系：  最大公因数就是较小数。

   ② 互质关系：  最大公因数就是1

  ③一般关系：  从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。

17、分数知识小结：

（1）分数的意义：把单位“1”平均分为几份表示其中的一份或几份。（如：把一根绳子平均分为5份，其中的一份就是五分之一，两份就是五分之二。）

（2）分数与除法：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。

（4）带分数：由整数和真分数组成，带分数一定是假分数。

（5）假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子）

（6）分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。

（7）最简分数  分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）

（8）通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程，叫做通分。　　通分的方法：1、先求出原来几个分数的分母的最简公分母；2. 根据分数的基本性质，把原来分数化成以最简公分母为分母的分数。

【约分】是对一个分数而言的，求出分子分母的最大公约数，然后分子分母【同除】这个最大公约数，约简得到相等的新分数，这个新分数，这个最简分数分子分母必须是互质。

三  长方体和正方体　　　　　　　　　

1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

长方体特点：

（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。

（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。

2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。

正方体特点：

（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。

（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。

（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。

	相同点	不同点
面	棱
长方体	都有6个面， 12条棱， 8个顶点。	6个面都是长方形。 （有可能有两个相对的面是正方形）。	相对的棱的长度都相等
正方体	6个面都是正方形。	12条棱都相等。

2、          长方体、正方体有关棱长计算公式：

(a：长  b：宽  c:高  L：棱长总和  S：表面积  V：体积)

长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4     L=（a＋b＋h）×4  

长=棱长总和÷4－宽 －高  a=L÷4－b－h

宽=棱长总和÷4－长 －高  b=L÷4－a－h

高=棱长总和÷4－长 －宽  h=L÷4－a－b

正方体的棱长总和=棱长×12      L=a×12      

正方体的棱长=棱长总和÷12      a=L÷12

4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。

长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2     S=2（ab＋ah＋bh）

无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2  

S=2（ab＋ah＋bh）－ab    S=2（ah＋bh）＋ab

无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2      S=2（ah＋bh）    贴墙纸

正方体的表面积=棱长×棱长×6    S=a×a×6      用字母表示： S= 6a²

生活实际：

油箱、罐头盒等都是6个面

游泳池、鱼缸等都只有5个面

水管、烟囱等都只有4个面。

注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）

注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

长方体的体积=长×宽×高    V=abh         

长=体积÷宽÷高     a=V÷b÷h  

宽=体积÷长÷高    b=V÷a÷h             

高=体积÷长÷宽    h= V÷a÷b

正方体的体积=棱长×棱长×棱长   

 V=a×a×a= a³读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）

长方体或正方体底面的面积叫做底面积。

长方体（或正方体）的体积=底面积×高    用字母表示：V=S h

（横截面积相当于底面积，长相当于高）。

注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。

6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。

常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。

   1升=1立方分米     1毫升=1立方厘米    1升=1000毫升

   （1 L = 1 dm³       1 ml = 1 cm³）

长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）

注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。

 *形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。

排水法的公式：V物体 =V现在－V原来

也可以        V物体 =S×(h现在- h原来)

                 V物体 = S×h升高

8、【体积单位换算】（立方相邻单位进率1000）　　　

进率：　1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米  

　　　　     1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

1立方厘米＝1毫升

   1平方米=100平方分米=10000平方厘米

  1平方千米=100公顷=1000000平方米

注意：长方体与正方体关系

把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率

【单位换算】　

长度单位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米   1厘米=10毫米  1分米=100毫米

          1米=10分米=100厘米=1000毫米            （相邻单位进率10）

面积单位：1平方千米=100公顷          1平方米=100平方分米

          1平方分米=100平方厘米    1公顷=10000平方米 （平方相邻单位进率100）

质量单位：1吨=1000千克      1千克=1000克

人民币：1元=10角    1角=10分     1元=100分

第四章 分数的加法和减法

（1） 同分母分数加、减法  （分母不变，分子相加减）

1、分数数的加法和减法    （2） 异分母分数加、减法  （通分后再加减）

（3） 分数加减混合运算：同整数。

（4） 结果要是最简分数

2、带分数加减法:带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。

（一）同分母分数加、减法

1、同分母分数加、减法：

同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。

2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。

（二）异分母分数加、减法

1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。

2、异分母分数的加减法：

异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。

（三）分数加减混合运算

1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。

在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。

2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。

3、                               

第五章    简易方程

1、在含有字母的式子里，数字和字母。字母和字母之间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写，数通常写在字母的前面。加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。

2、a×a可以写作a·a或a² ，a²读作a的平方。  2a表示a+a

3、等式：表示相等关系的式子叫等式。

4、等式的性质：等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。

5、方程：含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。解方程的格式要求：①必须写“解”并打上“：”。②所有“=”对齐。③自觉进行验算。

6、10个数量关系式：加法：和=加数+加数  一个加数=和-另一个加数

减法：差=被减数-减数    被减数=差+减数     减数=被减数-差

乘法：积=因数×因数     一个因数=积÷另一个因数

除法：商=被除数÷除数   被除数=商×除数    除数=被除数÷商

7、所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。

8、方程的解是一个数，解方程是一个计算过程。

9、列方程解决问题的步骤：

 ①弄清题意，假设未知数。②分析找出数量之间的等量关系，列方程。③解方程，未知数等号后面结果不带单位。④验算，写出答语。

六、折线统计图

5、统计图：我们学过——条形统计图、复式折线统计图。

条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。

折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。

注：① 画图时注意：一“点”（描点）、     二“连”（连线）    三“标”（标数据）。

②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。（复式5折线统计图）

期末测试卷及答案

一、直接写出得数。（5 分）

二、填空。（20 分）

5、在（ ）里填上合适原单位。

（1）牙膏的体积是300（ ） 

（2）一间教室占地54（ ）

（3）一桶食用油5（ ） 

（4）一盒新希望营养奶250（ ）

6、1.5 立方米=（ ）立方分米3670mL=（ ）L

7、12 和18 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。

8、一支钢笔a 元，比圆珠笔贵6 元，，一支圆珠笔（ ）元，3 支钢笔（ ）元，5

支圆珠笔（ ）元。

9、一个长方体的棱长和是60cm，长是6cm，宽是4 cm，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。

10、一个棱长8dm 的正方体玻璃水箱，里面装有4.5dm 深的水，当把一块不规则的石头完全浸入水中后，水面上升到6dm，这块石头的体积是（ ）。

11、用4 立方米的黄沙铺在上地6.4 平方米的沙坑里，可以铺（ ）厚。

三、判断。（6 分）

1、分数都小于1. （ ）

2、把一个橡皮泥捏成一个长方体后，形状变了体积不变。（ ）

3、方程是等式，等式也是方程。（ ）

4、含有2、5 以外的质因数，所以它不能化成有限小数。（ ）

5、棱长是1cm 的正方体的体积和表面积一样大。（ ）

6、捐款时，小红捐了她零花钱的，小英了捐了她的零花钱的，所以两人捐的钱一样多。（ ）

四、选择。（6 分）

1、下面（ ）个式子是方程。

A、3+6 =9     B、4a+b    C、3y=15

2、如果是假分数，那么a 最小是（ ）。

A、9    B、0    C、8

3、在解方程6x÷3=7 时，小方是这样转化的，6x÷3×3=7×3，6x=21.他这样转化的依据是（ ）。

A、被除数=除数×商

B、等式的基本性质

C、商不变的性质

4、立体图形，从上面看到的图形是（ ）

5、下列说法，正确的是（ ）。

A、体积单位比面积单位大。

B、最简分数的分子和分母一定是互质数。

C、一个木箱的容积和体积完全一样。

D、大于的分数只有一个。

6、如果（甲、乙两数均不为0），那么甲数（ ）乙数。

A、＞  B、＜  C、＝  D、无法比较

五、计算。（27 分）

1、计算。能简算要简算。（12 分）

2、解方程。（带*号要验算。）（10 分）

3、列式或列方程解答。（5 分）

（1）

（2）一个数的4 倍比它的2 倍多12，这个数是多少？

五、看图计算，填空。（11 分）

1、下图是一个长方体展开图，求它的体积和表面积。

2、根据统计图填空。（6 分）

陈亮每年生日都测量体重。下图是他8～14 岁之间测量的体重与全国同龄男生标准体重对比的统计图（6 分）

（1）陈亮的体重在他（ ）岁时增长的幅度最大

（2）陈亮的体重与标准体重相比，一直（ ）

（3）你知道肥胖对身体的危害吗？你能给陈亮提出哪些建议？

六、“走进生活”用一用（共25 分，每题5 分）

1.给这个礼品盒捆丝带，打结处需30cm，一共要多少cm？

2.甲乙两辆汽车同时从相距525km 的两个城市相对开出。甲车的速度是乙车的1.5 倍，经过5 时相遇。甲乙两车每时分别行多少km？

3.某服饰公司四月份完成季度计划的，五月份完成季度计划的，六月份完成计划的，该季度超额完成计划的几分之几？

4.根据小票的信息，你能提出什么数学问题？并解决？

5.一个正方体玻璃器皿，从里面量长、宽均为20cm，向容器中倒入6 L水，再把一个苹果放入水中。这时量得容器内的水深是17cm。这个苹果的体积是多少？

参考答案

一、直接写出得数。

3/4，5/7，5/12，1/6，0.09；3/10，2/3，13/12，1/2，x，

二、填空。

1、5/9，3/4，5/4； 2、7/15； 

3、1/9，11； 

4、5，20，21；

5、立方厘米，平方米，升，毫升；

6、1500，3.67；

7、6，36；

8、a - 6，3a，5（a - 6）， 

9、148，120；

10、13.2 立方分米， 

11、0.635 米

三、判断。×，√，×，×，×，×；

四、选择。C，C，B，C，

五、六、略

图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删

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